带闭环传递函数测量的激光锁定

▍窄线宽激光系统的同步锁定与表征                          

Moku：Pro 上的多仪器模式允许您使用激光锁盒将激光器锁定到光学腔内，同时使用频率响应分析仪（FRA）测量波特图，无需额外的测试设备或接线。通过将干扰注入误差信号并使用FRA测量传递函数，可以检查闭环增益、相位裕量和环路干扰抑制性能。在FRA和激光锁盒之间快速切换的灵活性使您可以方便地调整PID参数并优化回路性能，以确保稳定性并最大程度地抑制干扰。

在高精度测量中，例如分子和原子物理应用，具有主动频率噪声抑制的激光系统由于其良好的长期稳定性而被广泛使用。实现稳定的激光锁定需要高度优化的反馈控制器，这尤其涉及测量：1）控制回路的传递函数，确保在低频有足够的增益，同时保持单位增益频率低以保持回路稳定性；以及2）干扰抑制，干扰如果耦合到激光器中并在穿过整个系统后被检测到，将经历的作为频率函数的响应。

传递函数通常绘制为波特图，表示在设定频率范围内采取的环路增益和相移。测量闭环扰动抑制的主要挑战是在不中断反馈控制的情况下注入噪声。通常，系统设置非常复杂，既需要噪声源作为注入方法，也需要网络分析仪来测量响应。

在本应用笔记中，我们将演示如何在Moku： Pro上使用多仪器模式来表征激光稳定系统的开环和闭环性能。Moku：Pro使我们能够将激光锁定在腔体内，注入扰动，并同时测量开环、闭环和扰动传递函数。您可以调整PID参数来优化回路配置，以确保稳定性，增强扰动抑制并抑制频率噪声。Moku：Pro为激光稳定和表征提供了紧凑高效的解决方案。

▍反馈控制基础知识                          

为了更好地了解激光锁定系统，我们必须首先简要回顾一下通用反馈控制。通过分析和推导本节中的干扰抑制方程，我们可以开始确定在Pound-Drever-Hall （PDH）锁定过程中注入扰动的位置以及探测回路响应的位置。

一般来说，我们可以将控制系统分为两种类型，即开环控制系统和闭环控制系统。主要区别在于前者的控制动作与系统的输出无关，而后者具有输出相关的控制动作[1]。通用反馈控制回路的基本思想是通过使用当前工作点与参考点之间的差值作为误差信号[1]来保持系统的输出在恒定的设定点运行。用于激光稳定的PDH锁定技术利用腔反射产生误差信号，该误差信号反馈给激光器，以最小的激光频率噪声保持光源激光在一定频率。这被认为是闭环控制[2]。一个基本的反馈控制系统通常有三个组件，如图1所示，被控设备（要控制），一个传感器（测量输出）和一个控制器（产生反馈输入）。

图1：典型反馈控制系统的框图。它由三个主要目标组成：

被控设备（P）、测量某些信号的传感器（S）以及产生输入的执行器或控制器（C）。

我们可以使用拉普拉斯变换导出控制系统的传递函数，对于给定的时域信号f（t），拉普拉斯变换定义为F（s）。

对于图1所示的系统，三个组件中的每一个都有自己的传递函数，分别表示为被控设备、传感器和控制器的P（s）、S（s）和C（s）。为了简化以下推导，引入了一个额外的内部信号，并标记为U（s）。输入信号为X（s），我们可以在通过这样的系统后计算输出信号：

根据公式（2）&（3），反馈系统的传递函数（H（s））可以通过输出的拉普拉斯变换与输入的比值导出：

其中C（s）P（s）S（s）是系统的开环增益（有时也称为返回比），等式（4）称为闭环增益。到目前为止，分析的重点是信号的变换，而在实际情况下，噪声的抑制更令人感兴趣。噪声可以从环路内的任何地方引入，但在这里我们考虑从被控平台引入的噪声（其他噪声源可以通过相同的程序进行分析）。当将噪声（N（s））纳入分析时，系统输出将被修改为：

对于具有较大控制器增益的系统（C（s) -> ∞), 系统的输出接近输入，也称为单位增益。外部扰动引入的噪声也被戏剧性地抑制到零。扰动的这种传递函数也称为扰动抑制（或灵敏度函数），它表征了控制系统对出现在被控设备输出端的扰动的敏感性。与开环传递函数类似，扰动抑制也是频率相关的。当扰动抑制的幅度超过单位增益时，噪声中的这种抑制变得无效，相应的频率因此称为单位增益频率。更重要的是，当开环增益的相位达到180度（即1+C（s）P（s）S（s）=0时的闭环极点）时，噪声将经历放大，导致系统不稳定，尤其是当C（s）P（s）S（s）接近-1时。这个转折点是称为相位裕度的反馈系统的另一个关键参数。控制回路的带宽受到单位增益频率和相位裕度的限制，如果相位裕度发生在低于单位增益频率的频率上，系统就不能稳定。

▍激光反馈控制

下面的激光稳定系统相当于上一节中讨论的反馈控制回路。在本应用笔记中，激光通过使用PDH锁定方案的反馈控制回路稳定到光腔。在此处查找PDH锁定技术的详细信息。图2说明了激光稳定过程的反馈回路，由外部伺服与内部PZT致动器结合形成。

图2：用于将激光波长锁定到腔谐振的概念反馈控制回路的框图。

PID控制器控制执行器，激光器内部的PZT传感器。

稳定系统可以解释为激光是被控设备，其频率是系统的输出（Y（s））。系统试图稳定到的设定点是参考腔的谐振频率。输出与光学鉴频器处的设定点进行比较。传感器测量这些信号（S（s））之间的差异，包括光学和光电子学，从而产生由控制器进一步处理的误差信号。通常，控制器也称为伺服（C（s））。它解决了被控设备的功能，提供控制信号以减少位置误差并优化驱动中的过冲。这里使用的激光器通常是调谐激光器，其频率可以根据控制信号通过内部PZT换能器进行调制。因此，随着控制信号馈入激光器，它产生最终输出波长。最后，该输出被反馈并更新反馈信号。

基于执行器的响应，需要仔细实施控制器的响应和PID设置，以确保稳定的反馈和足够的噪声抑制。为了更好地理解这一点，可以通过测量干扰抑制来将闭环响应表征为整个系统。我们可以通过在Vin点注入扫频信号并在Vout提取输出来实现这一点。相应的频率响应可以推导为：

▍实验设置

在这个实验中，Moku： Pro不仅可以作为激光锁定盒，还可以表征系统的闭环响应。图3说明了完整的系统设置，图4演示了多仪器模式配置。为了实现我们的目标，我们将四个仪器部署到四个独立的插槽中：激光锁定盒、锁定放大器、PID控制器和频率响应分析仪。

图3：表征激光稳定系统环内扰动抑制的实验装置。扰动抑制是使用频率响应分析仪仪器直接测量和产生的，

同时激光用Moku： Pro的激光锁定盒锁定到外部参考腔。

注入或加法器是通过使用具有0 dB比例增益设置的PID控制器仪器实现的。

图4：Moku：多乐器模式下的专业配置。请注意，由于四个插槽彼此完全独立，因此添加到插槽中的乐器顺序无关紧要。

干扰在误差信号解调之后但在传播到控制器之前注入。因此，我们将激光锁定过程分成两个独立的过程：锁定放大器（LIA）通过输出1产生调制信号到电光调制器（EOM）并解调误差信号；激光锁盒（LLB）跳过解调过程，只将伺服或控制信号提供回激光器。输出2来自LLB中的快速PID控制器，然后直接连接到激光器的压电以精细驱动激光频率，输出3连接到激光器的温度控制。

同时，我们用频率响应分析仪（FRA）仪器测量了闭环扰动抑制，在那里它产生了扫频正弦偏移，并通过使用PID控制器仪器作为加法器注入到环路信号（In 1）中。为了实现这个求和结，我们通过将输入矩阵设置为 

加法器的输出被分成两条路径，一条为激光锁定盒提供误差信号，另一条连接到FRA的通道B以测量闭环频率响应。FRA的通道A在注入正弦波之前记录了环内频率噪声。

LLB提供伺服动作。通过斜坡扫描监测PDH误差信号，然后我们调整缓慢的温度偏移，使腔谐振接近扫描范围的中间。然后打开积分器饱和度，以避免在稳定系统之前过度补偿。然后我们选择载波的过零点作为锁定点，并使用“锁定辅助”功能进行锁定，该功能与快速PID控制器接合。最后，我们禁用积分器饱和度，以使全积分器在低频时获得更多增益。在这里找到激光锁盒的详细解释。

在我们成功地将激光频率锁定到空腔后，我们将感兴趣的仪器切换到FRA，在那里测量被配置为在两个通道上具有足够小的输出信号（5 mVpp）。通过在感兴趣的频率范围内扫描频率源，我们生成了与方程6-8相关的传递函数。

▍实验结果

观察图5中的测量结果。

图5：测量的传递函数，显示了激光锁定系统的整体闭环响应（红色）、闭环干扰抑制（蓝色）

和计算的开环增益（橙色）。干扰抑制的单位增益频率约为24 kHz。

红色迹线显示测量的互补传递函数（公式7），蓝色迹线显示扰动抑制（公式6）。通过使用数学通道（ChAοChB），我们可以动态计算开环传递函数，如图5中的橙色迹线所示。从蓝色迹线（或橙色迹线）可以看出，锁定环具有高达~24 kHz的单位增益频率，相位裕度略高于90度。该系统中的锁定带宽限制来自PZT的机械共振。从图中，我们可以看到在~63kHz处存在机械共振。因此，进一步将系统推向更高的增益可能会激发共振振荡，这可能会在该特定频率点产生正反馈并破坏系统的稳定性。

此外，从开环响应（橙色迹线）我们可以看到低频增益达到60 dB。这与蓝色迹线中的-60 dB扰动抑制相呼应，表明LLB仪器可以提供足够的伺服增益来充分抑制激光频率噪声并保持稳定的锁定。

▍总结

Moku： Pro灵活的基于现场可编程门阵列（FPGA）的方法解决了传统固定功能测试和测量硬件的许多缺点。基于FPGA的架构提供了在仪器之间动态切换的能力。它还提供了同时使用多个仪器的能力，例如用FRA表征激光锁定回路传递函数，同时用LLB保持稳定的锁定。多仪器模式使优化回路配置的过程更加简单高效。直观的用户交互界面极大地降低了实验设置的复杂性，提供了更易于访问和灵活的解决方案。

此外，尽管本应用笔记显示了一个利用PDH锁定方案的示例，但这种验证控制回路响应的方法适用于其他锁定技术，例如DC锁定、条纹侧锁定和倾斜锁定，这些技术在激光频率稳定领域开辟了广泛的实际应用。

▍关于Liquid Instruments

Liquid Instruments 成立于2014年，专注高精度科学测试测量仪器的研发，致力于简化实验室工作流程来创造更直观、灵活流畅的实验室体验。Liquid Instruments由澳大利亚国立大学(ANU)量子科学系终身教授Daniel Shaddock建立，研发团队由ANU激光干涉、精密测量、数据科学、软件设计和工程等科研人员组成，拥有NASA JPL、引力波探测等专业研究背景经历。